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燕尾定理公式大全图解(燕尾定理)

燕尾定理公式大全图解,燕尾定理相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、燕尾定理,因此图类似燕尾而得名,是五大模型之一,是一个关于三角形的定理(如图△ABC,D、E、F为BC、CA、AB 上点,满足AD、BE、CF 交于同一点O)。

2、   S△ABC中,S△AOB:S△AOC=S△BDO:S△CDO=BD:CD;同理,S△AOC:S△BOC=S△AFO:S△BFO=AF:BF;S△BOC:S△BOA=S△CEO:S△AEO=EC:AE。

3、  证法1  下面的是第一种方法:利用分比性质(若a/b=c/d,则(a-b)/b=(c-d)/d,[1]b≠0,d≠0,)[2](注:∵(a-b)/b=a/b-b/b=a/b-1,(c-d)/d=c/d-d/d=c/d-1,a/b=c/d∴(a-b)/b=(c-d)/d∵△ABD与△ACD同高∴S△ABD:S△ACD=BD:CD同理,S△OBD:S△OCD=BD:CD利用分比性质,得S△ABD-S△OBD:S△ACD-S△OCD=BD:CD即S△AOB:S△AOC=BD:CD命题得证。

4、证法2下面的是第二种方法:相似三角形法   证法1图已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。

5、求证:AE=CE 证明:如图,过点O作MN∥BC,交AB于点M,交AC于点N;过点O作PQ∥AB,交BC于点P,交AC于点Q。

6、∵MN∥BC∴△AMO∽△ABD,△ANO∽△ACD∴MO:BD=AO:AD,NO:CD=AO:AD∴MO:BD=NO:CD∵AD是△ABC的一条中线∴BD=CD∴MO=NO∵PQ∥AB∴△CPO∽△CBF,△CQO∽△CAF∴PO:BF=CO:CF,QO:AF=CO:CF∴PO:BF=QO:AF∵CF是△ABC的一条中线∴AF=BF∴PO=QO∵MO=NO,∠MOP=∠NOQ,PO=QO∴△MOP≌△NOQ(SAS)∴∠MPO=∠NQO∴MP∥AC(内错角相等,两条直线平行)∴△BMR∽△BAE(R为MP与BO的交点),△BPR∽△BCE∴MR:AE=BR:BE,PR:CE=BR:BE∴MR:AE=PR:CE∵MN∥BC,PQ∥AB∴四边形BMOP是平行四边形∴MR=PR(平行四边形的对角线互相平分)∴AE=CE命题得证。

7、证法3下面的是第三种方法:面积法已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。

8、求证:AE=CE证明:如图,∵点D是BC的中点,点F是AB的中点∴S△CAD = S△BAD,S△COD = S△BOD∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD即S△AOC(绿) = S△AOB(红)∵S△ACF = S△BCF,S△AOF = S△BOF∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF即S△AOC(绿) = S△BOC(蓝)∴S△AOB(红) = S△BOC(蓝)∵S△AOE:S△AOB(红) = OE:OB,S△COE:S△BOC(蓝) = OE:OB∴S△AOE:S△AOB(红) = S△COE:S△BOC(蓝)∵S△AOB(红) = S△BOC(蓝)∴S△AOE = S△COE∴AE=CE命题得证。

9、证法4下面的是第四种方法:中位线法已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。

10、求证:AE=CE证明:如图,延长OE到点G,使OG=OB。

11、∵OG=OB∴点O是BG的中点又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线∴AD∥CG(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半)∵点O是BG的中点,点F是AB的中点∴OF是△BGA的一条中位线∴CF∥AG∵AD∥CG,CF∥AG∴四边形AOCG是平行四边形∴AC、OG互相平分∴AE=CE命题得证。

12、证法5:因为ABCO是凹四边形,根据共边比例定理,命题得证  推广:共边比例定理四边形ABCD(不一定是凸四边形),设AC,BD相交于E  则有BE :DE=S△ABC :S△ADC此定理是面积法最重要的定理。

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