今日最新欧拉定理证明几何(欧拉定理证明)
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1、简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2这个公式叫欧拉公式。
2、公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。
3、方法1：（利用几何画板） 逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。
4、 去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。
5、因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。
6、依次去掉所有的面，变为“树枝形”。
7、（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。
8、以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。
9、 对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。
10、因此公式对任意简单多面体都是正确的。
11、 方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V，面数F，棱数E。
12、剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α一方面，在原图中利用各面求内角总和。
13、 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。
14、设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。
15、中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。
16、所以，多面体各面的内角总和：∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800 =（V-2）·3600. （2）由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600 所以 V+F-E=2. （1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复数 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2（3）三角形 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面体 设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则 v-e+f=2-2pp为欧拉示性数，例如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫第一类多面体 (5) 多边形设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：V+Ar-B=1(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8) (6). 欧拉定理在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。
17、其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。
本文就讲到这里，希望大家会有所帮助。
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